Bonjour est-ce que quelqu’un peut m’aider pour cet exercice

Bonjour,

1) forme u x v

avec u(x) = x² - 4x + 5 et v(x) = eˣ

Soit : u'(x) = 2x - 4 et v'(x) = eˣ

⇒ f'(x) = (u'v + uv')(x) = (2x - 4).eˣ + (x² - 4x + 5).eˣ

= (x² - 2x + 1).eˣ

2) forme u/v

avec u(x) = 1 - 2x et v(x) = eˣ

Soit : u'(x) = -2 et v'(x) = eˣ

⇒ f'(x) = [(u'v - uv')/v²](x)

= [-2eˣ - (1 - 2x)eˣ]/(eˣ)²

= (2x - 3)/eˣ

3) idem avec :

u(x) = 2 - 2eˣ et v(x) = eˣ + 1

soit : u'(x) = -2eˣ et v'(x) = eˣ

⇒ f'(x) = [-2eˣ(eˣ + 1) - (2 - 2eˣ).eˣ]/(eˣ + 1)²

= (-2eˣ - 2)/(eˣ + 1)²

= -2/(eˣ + 1)

Réponse :

dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f

1) f est définie sur R  par  f(x) = (x² - 4 x + 5)eˣ

la fonction  produit est dérivable sur R  et sa dérivée est :

f '(x) = (u*v)' = u'v - v'u

u(x) = x² - 4 x + 5  ⇒ u'(x) = 2 x - 4

v(x) = eˣ   ⇒ v'(x) = eˣ

f '(x) = (2 x - 4)eˣ + (x² - 4 x + 5)eˣ

       = (2 x - 4 + x² - 4 x + 5)eˣ

       donc  f '(x) = (x² - 2 x + 1)eˣ

2) f est est définie sur R par f(x) = (1 - 2 x)/eˣ

la fonction quotient est dérivable sur R et sa dérivée est

f '(x) = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 1 - 2 x  ⇒ u'(x) = - 2

v(x) = eˣ  ⇒ v'(x) = eˣ

f '(x) = (- 2eˣ - (1 - 2x)eˣ)/e²ˣ

      = (- 2 - 1 + 2 x)eˣ/e²ˣ

     f '(x) = (2 x - 3)/eˣ

3) f est définie sur R par   f(x) = (2 - 2eˣ)/(eˣ + 1)

u(x) = 2 - 2 eˣ  ⇒  u'(x) = - 2eˣ

v(x) = eˣ + 1  ⇒ v'(x) = eˣ

f '(x) = [-2eˣ(eˣ + 1) - (2 - 2eˣ)eˣ]/(eˣ + 1)²

       = (- 2e²ˣ - 2eˣ - 2eˣ + 2e²ˣ)/(eˣ + 1)²

    f '(x) = - 4eˣ/(eˣ + 1)²

Explications :