Bonjour quelqu’un pourrait m’aider à faire la question 3.a, merci beaucoup (niveau spé maths première). C’est sur les dérivés

Réponse :

1) exprimer h en fonction de x

            π * x² * h = π  ⇔ x² * h = 1   ⇔ h = 1/x²     x > 0

2) montrer que l'aire totale de la casserole (l'aire latérale et la base) vaut

         A(x) = 2π/x + π x²

l'aire totale de la casserole est : A(x) = π x² + 2 π * x * h

⇔ A(x) = π x² + 2 π * x * 1/x²   ⇔ A(x) = 2π/x  + π x²

3) a) montrer que

      A'(x) = 2π(x - 1)(x² + x + 1)/x²

A(x) = 2π/x  + π x² ⇒  A'(x) = - 2π/x² + 2π x

                                            = (- 2π/x² + 2π x³)/x²

                                            = 2π(x³ - 1)/x²

                                            = 2π(x - 1)(x² + x + 1)/x²

b) étudier les variation de S sur ]0 ; + ∞[

        A'(x) =  2π(x - 1)(x² + x + 1)/x²      or  x² > 0 et x² + x + 1 > 0

donc le signe de A'(x) dépend du signe de  x - 1

           x    0           1             + ∞    

        x - 1   ||     -     0       +

        A'(x)  ||     -     0        +

variation    +∞→→→ 3π→→→→→→ + ∞

de A(x)          décr         croissante

x = 1 dm  et  h = 1 dm

Explications étape par étape :