Bonjour, j'aurais vraiment besoin de votre aide pour un devoir maison. Un nouveau magazine arrive sur le marché en 2020. La première année (en 2020), 500 person
Question
Un nouveau magazine arrive sur le marché en 2020. La première année (en 2020), 500 personnes s'abonnent au magazine. On prévoit que chaque année, 80 % des abonnés renouvelleront leur abonnement et 200 nouvelles personnes s'abonneront. 1. Déterminer le nombre d'abonnés en 2021 et en 2022. 2. On note un le nombre d'abonnés en 2020+ n. a) Donner la valeur de vor u, et uz: b) Justifier que, pour tout n EN, Un+1 = 0,84, + 200. c) la suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 3. Résoudre l'équation x = 0,8x + 200. On notera xo la solution de l'équation. 4. Soit (vn) la suite définie par vn = un - XO" a) Calculer vor V1, V2: b) En calculant et conjecturer la nature de la suite (vn). VO V 5. On veut démontrer la conjecture de la question précédente. a) Exprimer vn+1 en fonction de unt puis en fonction de u, et enfin en fonction de vn. 1 b) En déduire la nature de la suite (vn). n c) En déduire l'expression de vn en fonction de n puis celle de u, en fonction de n. 6. Quel sera le nombre d'abonnés en 2050 ?
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
1) Déterminer le nombre d'abonnés en 2021 et en 2022
en 2021 : 500 - 500 x 0.2 + 200 = 600
en 2022 : 600 - 600 x 0.2 + 200 = 680
2) a) donner les valeurs de U0 ; U1 et U2
U0 = 500 ; U1 = 600 et U2 = 680
b) justifier que; pour tout n ∈ N, Un+1 = 0.8Un + 200
U0 = 500
U1 = 500 - 500 x 0.2 + 200 = 500(1 - 0.2) + 200 = 500 x 0.8 + 200
U2 = 600 - 600 x 0.2 + 200 = 0.8 x 600 + 200
U3 = 680 - 680 x 0.2 + 200 = 0.8 x 680 + 200
...................................
Un+1 = Un - Un x 0.2 + 200 = 0.8Un + 200
c) la suite (Un) est géométrique de raison q = 0.8
3) résoudre l'équation x = 0.8 x + 200
on notera x0 la solution de l'équation
x = 0.8 x + 200 ⇔ 0.2 x = 200 ⇔ x = 200/0.2 = 1000
donc x0 = 1000
4) Vn = Un - X0
a) calculer V0 ; V1 et V2
V0 = U0 - 1000 = 500 - 1000 = - 500
V1 = U1 - 1000 = 600 - 1000 = - 400
V2 = U2 - 1000 = 680 - 1000 = - 320
b) V1/V0 = - 400/-500 = 4/5 = 0.8
V2/V1 = -320/-400 = 32/40 = 4/5 = 0.8
la suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.8 et de premier terme V0 = - 500
5) on veut démontrer la conjecture de la question précédente
Vn = Un - X0
Vn+1 = Un+1 - X0 = 0.8Un + 200 - 1000 = 0.8Un - 800
Vn+1/Vn = 0.8Un - 800/(Un - 1000) = 0.8(Un - 1000)/(Un - 1000) = 0.8
donc Vn+1/Vn = 0.8 ⇔ Vn+1 = 0.8Vn
b) en déduire la nature de la suite (Vn)
(Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.8 et de premier terme
V0 = - 500
c) en déduire l'expression de Vn en fonction de n, puis celle de Un en fonction de n
Vn = V0 x qⁿ donc Vn = - 500 x 0.8ⁿ
Vn = Un - 1000 ⇔ Un = Vn + 1000 ⇔ Un = - 500 x 0.8ⁿ + 1000
6) quel sera le nombre d'abonnés en 2050
U30 = - 500 x 0.8³⁰ + 1000 ≈ 1000
S = 500(1 - 0.8³¹)/0.2 = 2500
Explications étape par étape :