Bonjour où bonsoir, pourriez vous m'aider avec cette question? Je vous remercie d'avance. ABCD est un parallélogramme Justifier que AB^2 - AD^2 = AC.DB (AC et D

Salut, voici comment faire :

Si ABCD est un parallélogramme alors ses cotés sont deux à deux de même longueur.

Décomposons les vecteurs :

[tex]\vec{AC}[/tex].[tex]\vec{DB}[/tex] = ([tex]\vec{AB}[/tex] +[tex]\vec{BC}[/tex]).([tex]\vec{DA}[/tex] + [tex]\vec{AB}[/tex])

De plus, on sait que [tex]\vec{BC}[/tex] = [tex]\vec{AD}[/tex] et que [tex]\vec{DA}[/tex] = [tex]\vec{-AD}[/tex]

Remplaçons maintenant dans l'expression :

[tex]\vec{AC}.\vec{DB}[/tex] = [tex](\vec{AB} + \vec{AD}).(\vec{-AD} + \vec{AB})[/tex]

Maintenant si on distribue on obtient :

[tex]\vec{AC}.\vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}).(\vec{-AD} + \vec{AB})[/tex]

[tex]= \vec{AB}.\vec{AB} - \vec{AB}.\vec{AD} + \vec{AD}.\vec{AB} - \vec{AD}.\vec{AD}[/tex]

= [tex]AB^{2}[/tex] - [tex](\vec{AB}.\vec{AD}) + (\vec{AD}.\vec{AB})[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex] =  [tex]AB^{2}[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex]

On a montré que [tex]\vec{AC}.\vec{DB}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] - [tex]AD^{2}[/tex]

Voilà n'hésite pas si tu as des questions :)