f est la fonction définie sur R par f(x) = (2x+1)² -3 (x-1)(2x+1) 1. Développer et réduire f(x) 2. Calculer là ce leur exacte de f(√2) 3. justifier que pour tou

Bonsoir

f (x) = (  2 x + 1 )² - 3 ( x - 1 ) ( 2 x + 1 )

f (x) = 4 x² + 4 x + 1 - 3 ( 2 x² + x - 2 x - 1 )

f (x) = 4 x² + 4 x + 1 - 6 x² - 3 x + 6 x + 3

f (x) =  - 2 x² + 7 x + 4

f ( √2) = - 2 ( √2 )² + 7 √2 + 4

f ( √2) = - 4 + 7 √2 + 4 = 7 √ 2

f (x) = ( 2 x + 1 ) ( 4 - x )

f (x) = 8 x - 2 x² + 4 - x

f (x) = - 2 x² + 7 x + 4

( 2 x + 1 ) ( 4 - x ) = 0

x = - 1/2 ou  4

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

f est la fonction définie sur R par f(x) = (2x+1)² -3 (x-1)(2x+1)

1. Développer et réduire f(x)

(2x+1)² est de la forme (a + b)² = a² + 2 ab + b² avec a = 2x et b = 1

donc a² = 4x² et b² = 1² = 1

f(x) = 4x² + 2 × 2x × 1 + 1² - 3 (2x² + x - 2x - 1)

f(x) = 4x² + 4x + 1 - 3 (2x² - x - 1)

f(x) = 4x² + 4x + 1 - 6x² + 3x + 3

f(x) = - 2x² + 7x + 4

2. Calculer là ce leur exacte de f(√2)

f(√2) = - 2(√2)² + 7(√2) + 4

f(√2) = - 2× 2 + 7√2 + 4

f(√2) = - 4+ 7√2 + 4

f(√2) =  7√2

3. justifier que pour tout nombre réel x, f(x) = (2x+1)(4-x)

Nous factorisons :

f(x) = (2x+1)² -3 (x-1)(2x+1)

f(x) = (2x+1)(2x + 1) -3 (x-1)(2x+1)

Le facteur commun est ici souligné, nous le mettons devant et nous

mettons le reste derrière.

Nous avons donc

f(x) = (2x + 1)  ( 2x + 1 - 3 (x - 1))

f(x) = (2x + 1)  ( 2x + 1 - 3 x  + 3)

f(x) = (2x + 1)  ( - x + 4)

f(x) = (2x + 1)  (4 - x)

4. déterminer les antécédents de 0 par f

f(x) = 0

donc nous avons

(2x + 1)  (4 - x) = 0

soit 2x + 1 = 0 ou 4 - x = 0

soit 2x = - 1 ou 4 = x

soit x = -1/2 ou x = 4

S = {-1/2; 4}