Mathématiques

Question

Bonjour, je n’arrive pas à faire les deux questions de cet exercice de mathématiques sur les suites. J’espère que vous pourrez m’aider! Merci d’avance, le voici:

On dispose d'un carré de côté1.

1. A partir de quelle étape, plus de 99% du carré est
colorié ?
2. Peut-on, par cette méthode, arriver à colorier tout
le carré initial de côté 1 ? Justifier.
Bonjour, je n’arrive pas à faire les deux questions de cet exercice de mathématiques sur les suites. J’espère que vous pourrez m’aider! Merci d’avance, le voici

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape :

    ■ soit un carré d' 1 mètre ( = 100 cm ) de côté

    ■ Aire totale du carré = 1 m² = 100 dm² = 10ooo cm²

    ■ 99% de 10ooo cm² = 9900 cm²   ♥

    ■ première Aire rose = 5ooo cm²

       seconde Aire rose = 2500 cm²

       troisième Aire rose = 1250 cm²

       4ème Aire rose = 625 cm²

       et ainsi de suite ...

    ■ on peut admettre que la suite des Aires roses

      est une suite géométrique de terme initial

      A1 = 5000 cm² et de raison q = 0,5

    ■ Somme des n Aires roses :

       5000 * (1 - 0,5^n) / 0,5 = 10ooo * (1 - 0,5^n)

    ■ 1°) on doit donc résoudre :

      10ooo * (1 - 0,5^n) > 9900

                     1 - 0,5^n  > 0,99

                     1 - 0,99   > 0,5^n

                         0,01    > 0,5^n

                    Log0,01   > n * Log0,5

                          -2       > -0,30103 n

                -2/-0,30103 < n    

                      6,644    < n    

      conclusion : on retient n = 7 .

      vérif :

      10ooo * (1 - 0,5^7) ≈ 9922 cm²

    ■ 2°)

      la Limite de 10ooo * (1 - 0,5^n) pour n tendant vers l' infini

      est bien 10ooo cm² donc 1 m²

      mais peut-on atteindre l' infini ? ☺

      En pratique, lorsque n = 20 , on aura quasiment

      tout colorié le carré d' 1 m² ( surtout si on a tendance

      à déborder en coloriant ! ☺ )

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