Bonjour je bloque sur cette exercice: On considere la suite wn definie pour tout entier naturel n, par Wn=-n2+2n+13 Déterminer le plus petit entier naturel p te

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

On considere la suite wn definie pour tout entier naturel n, par Wn=-n2+2n+13

Déterminer le plus petit entier naturel p tel que Wp<10

Nous cherchons donc un nombre p positif tel que Wp<10

Pour déterminer le plus petit entier naturel p tel que Wp < 10, nous devons résoudre :

Wp = - p² + 2p + 13 < 10

nous avons donc

- p² + 2p + 13 - 10 < 0

donc - p² + 2p + 3  < 0

Résolvons l'équation - p² + 2p + 3 = 0

Calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac

avec a = -1, b= 2 et c = 3

Δ = (2)² - 4(-1)(3)

Δ= 4 + 12

Δ = 16 > 0 donc √Δ = √16 = 4

donc l'équation - p² + 2p + 3 = 0 admet deux solutions

x₁= (-b - √Δ)/(2a) et  x₂ = (-b + √Δ)/(2a)

avec a = -1, b= 2 et c = 3

x₁ =  ( - 2 - 4)/(2(-1)) et  x₂ = ( - 2 + 4)/(2(-1))

x₁ = ( - 6)/( -2) et  x₂ = 2/(-2)

x₁ = 3  > 0 donc la solution convient

et  x₂ = - 1 < 0 la solution ne convient pas

donc - p² + 2p + 3  < 0 pour  p = 3 > 0 (p positif)

donc  le plus petit entier naturel p tel que Wp < 10 est p = 3