Salut ! Est ce que vous pouvez m'aider en m'expliquant les étapes s'il vous plaît ? En fait c'est surtout la méthode que je voudrais comprendre pour après pouvo

Réponse :

re-bonjour, c'est mieux avec la photocopie.

Explications étape par étape :

Un=5*0,7^n

U(n+1)=5*0,7^(n+1)=5*(0,7^n)*0,7

le rapport U(n+1)/Un=0,7

ce rapport est <1 donc la suite Un  est décroissante

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Vn=(n+1)/n

V(n+1)=(n+1+1)/(n+1)=(n+2)/(n+1)

le rapport v(n+1)/Vn=(n+2)/(n+1)* n/(n+1)=n(n+2)/(n+1)²=(n²+2n)(n²+2n+1)

N étant>0 ce rapport est <1 la suite Vn est donc décroissante.

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Je vais te donner une autre explication pour prouver que ces suites sont décroissantes

Ce sont deux suites explicites (des fonctions de n sur N)

Un=5*0,7^n se comporte comme la fonction f(x) =5*0,7^x avec x appartenant à [0;+oo]

dérivée f'(x)=5*(ln0,7)*0,7^n cette dérivée du signe de ln0,7 qui est <0

dérivée<0  donc fonction décroissante .

Il en est de même pour la suite Un qui n'est que des points particuliers de f(x).

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Vn=(n+1)/n se comporte comme f(x)=(x+1)/x sur]0;+oo[

Dérivée: f'(x)=[1*n-1(n+1)]/n²=-1/n²

f'(x) est toujours <0 donc f(x) est décroissante  il en est de même pour Vn