Bonjour, est-ce que vous pouvez m’aider s’il vous plaît merci d’avance,.

bonjour

1)

calcul préliminaire :

mesure de la hauteur d'un triangle équilatéral (voir image)

ABC est équilatéral ; soit a la mesure des côtés

H est le milieu de [AB] : AH = a/2

dans le triangle rectangle AHC

AC² = AH² + HC²

a² = (a/2)² + HC²

a² = a²/4 + HC²  

HC² = a² - a²/4  

HC² = 3a²/4

HC = a√3/2

dans le cas de l'exercice le triangle équilatéral OAM a pour côté 2,

sa hauteur mesure 2√3/2 = √3

dans le repère indiqué sur la figure

            • coordonnées du vecteur PA

coordonnées du point P (0 ; 2)

coordonnée du point A (1 ; √3) (√3 c'est la hauteur)

le vecteur PA a pour coordonnées 1 - 0

                                                          √3 - 2

PA (1 ; √3 - 2)

                • coordonnées du vecteur PB

abscisse de B : 2 + hauteur triangle équilatéral = 2 + √3

ordonnée de B : 1

B(2 + √3 ; 1)

le vecteur PB a pour coordonnées 2 + √3 - 0

                                                           1 - 2

PB (2 + √3 ; -1)

• on a : PA (1 ; √3 - 2)

            PB (2 + √3 ; -1)

propriété : 2 vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si

                                                   xy'  -  yx' = 0

    1           √3 - 2

2 + √3         -1

1*(-1) - (2 +√3)(√3 - 2) = -1 - (√3 + 2)(√3 - 2)

                                   = -1 - [ (√3)² - 2²]

                                   = -1 - (3 - 4)

                                   = -1 - (-1)

                                   = 0

D'après la propriété les vecteurs PA et PB son colinéaires

les droites PA et PB sont donc parallèles.

Elles ont en commun le point P, elles sont confondues.

P, A et B sont alignés.