Bonjour je bloque sur mon exercice pouvez-vous m’aider svp Merci d’avance

Réponse :

1) d'après le th.Pythagore   a² = h² + (a/2)²  ⇔ h² = a² - (a/2)²

⇔ h² = a² - a²/4 = 3 a²/4  ⇒ h = (a√3)/2

2) justifier que ce repère est orthonormé

   ABCD  est un carré  donc  AB = BC  et  (AB) ⊥(BC)

donc le repère  (B , C , A) est un repère orthonormé

3) donner les coordonnées de E et  F

 E(1/2 ; (√3)/2)    et   F(1+ (√3/2) ; 1/2)  = ((2+√3)/2 ;  1/2)

4) prouver que AE = √(2-√3)  et  EF = √2. Calculer AF

vec(AE) = (1/2 ; (√3/2 - 1)) = (1/2 ; (√3  - 2)/2)

⇒ AE² = (1/2)² +  ((√3  - 2)/2)²

           = 1/4 + (√3 - 2)²/4

           = 1/4  +  (3 - 4√3 + 4)/4

           = (8 - 4√3)/4

           = 4(2 - √3)/4

           = 2 - √3

AE² = 2 - √3   ⇔ AE = √(2-√3)

vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ;  1/2 - √3/2) = ((1+√3)/2 ; (1-√3)/2)

⇒ EF² = ((1+√3)/2)² + ((1-√3)/2)² = ((1+√3)² + (1-√3))²/4

          = (1 + 2√3 + 3 + 1 - 2√3 + 3)/4

          = 8/4

          = 2

EF² = 2  ⇔ EF = √2

vec(AF) = ((2+√3)/2 ; 1/2 - 1) = ((2+√3)/2  ; - 1/2)

AF² = (2+√3)²/4 + 1/4 = (4 + 4√3 + 3 + 1)/4 = (8 + 4√3)/4 = 4(2+√3)/4

AF² = 2 + √3   ⇔  AF = √(2+√3)

5) (√(2+√3) - √(2-√3))² = 2+√3 + 2-√3 - 2√(2+√3)(2-√3)

                                      = 4 - 2√(4 - 3)

                                      = 4 - 2

                                      = 2

5)   (√(2+√3) - √(2-√3))² = 2  ⇔   (√(2+√3) - √(2-√3)) = √2

         AF - AE = EF   ⇔ AF = AE + EF

Donc les points  A , E  et F  sont alignés  

Explications étape par étape :