soit p un nombre premier impair. Quand on fait la division euclidienne de p par 4, celui-ci est de forme 4q + r . 1) Précisez à quel ensemble appartient alors r

bonjour

p nombre premier impair ;  division par 4

1)

p  = 4q + r

le reste r doit être inférieur au diviseur 4

r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}

2)

si r = 0 alors p = 4q  

p est un multiple de 4 est n'est pas impair

si r = 2 alors  p = 4q + 2 = 2(2q + 1)    

p est un multiple de 2 et n'est pas impair

1 et 3 sont les restes possibles

3)

• si p est de la forme 4q + 1

 alors p² = (4q + 1) ² = (4q)² + 2*4q *1 + 1²

                                 = 16q² + 8q + 1

p² - 1 = 16q² + 8q

         = 8(2q² + q)

p² - 1 produit de 8 par le naturel (2q²+q) est un multiple de 8

• si p est de la forme 4q + 3

  alors p² = (4q + 3)² = 16q² + 24q + 9

p² - 1 = 16q² + 24q + 8 = 8(2q² + 3q + 1)  : multiple de 8