Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exercice que je comprends pas . Déterminer les valeurs de x pour lesquelles les encadrements suivants sont vérifiés 1)- 3 < x

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

On résout d'abord :

x²-2x-15 < 1 soit :

x²-2x-16 < 0 : expression négative à l'intérieur  des racines.

il nous faut les racines de x²-2x-16=0.

Δ=b²-4ac=(-2)²-4(1)(-16)=68

√68=2√17

x1=(2-2√17)/2=1-√17

x2=1+√17

Donc x²-2x-16 < 0 pour x ∈]1-√17;1+√17[

On résout ensuite:

x²-2x-15 > -3 soit :

x²-2x-12 > 0 : expression positive à l'extérieur des racines.

Δ=(-2)²-4(1)(-15)=64

√64=8

x1=(2-8)/2=-3

x2=(2+8)/2=5

x²-2x-12 >  0 pour x ∈ ]-∞;-3[ U ]5;+∞[

Les deux conditions trouvées donnent comme solution pour l'encadrement donné  :

x ∈ ]1-√17[ U ]5;1+√17[

Il faut placer les 4 valeurs sur une droite orientée pour t'y retrouver.

2)

On résout d'abord :

(3x²+1)/(x+7) <  7 ==>il faut x ≠ -7.

(3x²+1)/(x+7) -7 < 0

On réduit au même déno :

(3x²+1-7x-49)/(x+7) < 0

(3x²-7x-48) / (x+7) < 0

Il nous faut les racines du numé .

Δ=(-7)²-4(3)(-48)=625

√625=25

x1=(7-25)/6=-3

x2=(7+25)/6=16/3

Tableau de signes :

x----------------->-∞.................-7..............-3..............16/3................+∞

3x²-7x-48---->............+...............+.........0.....-..........0.........+.........

x+7-------->..............-................0.....+...........+....................+...........

Fraction-->.............-...............||........+......0....-........0........+..........

Donc (3x²-7x-48) / (x+7) < 0 pour :

x ∈ ]∞;-7[  U ]-3;16/3[

On résout ensuite :

(3x²+1)/(x+7) > 2 soit :

(3x²+1)/(x+7) - 2  > 0

Réduc au même déno :

(3x²+1-2x-14)/(x+7) > 0

(3x²-2x-13)/(x+7) > 0.

Il faut les racines du numé .

Δ=(-2)²-4(3)(-13)=160

√160=4√10

x1=(2-4√10)/6

x1=(2-2√10)/3 ≈ -1.44

x2=(2+2√10)/3 ≈ 2.77

Tableau de signes :

x----------------->-∞.............-7.................x1..................x2...................+∞

3x²-2x-13---->..........+...............+...........0........-.......0........+............

x+7------------>......-............0.....+.....................+..................+...........

Fraction----->.......-..........||........+.........0.........-........0........+.........

Donc (3x²-2x-13)/(x+7) > 0 pour :

x ∈ ]-7;(2-2√10)/3[ U ](2+√10)/3;+∞[

Les deux conditions trouvées  donnent pour l'encadrement donné :

x ∈]-3;(2-2√10)/3[ U ](2+2√10)/3;16/3[

Tu as intérêt  à vérifier car ce sont des calculs très délicats.