Exercice 3. On considère l'expression suivante : A(x) = x2 + 8x +15. 1. Développer l'expression (x+4)2 - 1. Que remarque-t-on? 2. Développer l'expression (x+3)(

Bonjour,

On considère l'expression A(x) = x² - 8x + 15.

1) Développer l'expression :

(x + 4)² - 1 = [(x)² + 2 × x × 4 + 4²] - 1

= (x² + 8x + 16) - 1

= x² + 8x + 15

On constate que l'on retrouve l'expression A(x).

2) Développer l'expression :

(x + 3)(x + 5)

= x² + 5x + 3x + 15

= x² + 8x + 15

On constate que l'on retrouve l'expression A(x).

3) On possède alors trois formes pour l'expression A(x) :

• A(x) = x² + 8x + 15
• A(x) = (x + 4)² - 1
• A(x) = (x + 3)(x + 5)

4) a) Résoudre A(x) = 0 :

A(x) = (x + 3)(x + 5) = 0

⇔ (x + 3)(x + 5) = 0

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

SSI   x + 3 = 0   ou   x + 5 = 0

SSI   x = -3   ou   x = -5

D'où [tex]S=\left\{-5;-3\right\}[/tex]

b) Résoudre A(x) = 1 :

A(x) = x² + 8x + 15 = 1

⇔ x² + 8x + 15 = 1

⇔ x² + 8x + 14 = 0

Or, Δ = 8² - 4 × 1 × 14

Δ = 64 - 56

Δ = 8

Or, Δ = 8 ⇒ [tex]\sqrt{\Delta} =\sqrt{8}=\sqrt{4\times\ 2 }=2\sqrt{2}[/tex]

Comme Δ = 8 > 0, l'équation admet deux solutions distinctes :

[tex]x_{1}=\frac{-8-2\sqrt{2} }{2}=\frac{2(-4-\sqrt{2}) }{2}=-4-\sqrt{2}\\\\ x_{2}=\frac{-8+2\sqrt{2} }{2}=\frac{2(-4+\sqrt{2}) }{2}=-4+\sqrt{2}\\\\\\[/tex]

D'où [tex]S=\left\{-4-\sqrt{2};-4+\sqrt{2}\right\}[/tex]

c) Résoudre A(x) = 15 :

A(x) = x² + 8x + 15 = 15

⇔ x² + 8x = 0

⇔ x(x + 8) = 0

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

SSI   x = 0   ou   x + 8 = 0

SSI   x = 0   ou   x = -8

D'où [tex]S = \left\{0;-8\right\}[/tex]

En espérant t'avoir aidé(e).