Bonjour pouvez-vous m’aider svp

bjr

coup de pouce..

Q1

aire du carré EFGH = aire du carré ABCD - aire de 4 triangles rectangles

avec

aire de ABCD = 5 * 5 = 25

et

aire d'un triangle rectangle = 1/2 * x * (5 - x) = 1/2x (5 - x) = 5/2x - 1/2x²

donc on aura

aire EFGH = 25 - 4 * (5/2x - 1/2x²)

                 = 25 - 10x + 2x²

dans l'ordre..

aire EFGH = 2x² - 10x + 25

Q2

aire EFGH est de type  : ax² + bx + c

donc ici sera représentée par une parabole en forme de U

=> calcul d'une aire minimale

soit

pour x = - b/2a (voir cours)

vous pouvez le calculer

Q3

résoudre  2x² - 10x + 25 = 14,12

donc résoudre 2x² - 10x + 10,88 = 0

vous trouvez les 2 racines avec le discriminant delta

Q4

résoudre 2x² - 10x + 25 ≤ 13

donc résoudre 2x² - 10x + 12 ≤ 0

=> 2 (x² - 5x + 6) ≤ 0

vous finissez par un tableau de signes après avoir trouvé les racines de x

Bonjour

Explications étape par étape :

Rappel

Aire d'un carré de coté c = c × c = c²

Aire d'un triangle = b × h/2 avec b la base et h la hauteur du triangle.

Nous avons un carré ABCD de coté c = 5 cm

et AE =BF = CG = DH = x

et AH = BE = CF = DG = 5 - x

Soit A = l'aire du carré EFGH

L'aire du carré EFGH est égal à :

A = la différence de l'aire du carré ABCD et l'aire des 4 triangles qui sont

HAE, EBF, FCG et GDH qui sont identiques

l'aire du carré ABCD = c × c = 5 × 5 = 25 cm²

L'aire des 4 triangles HAE, EBF, FCG et GDH est identique :

aire du triangle HAE = b × h /2 avec b =  AE et  h  =  HA

donc nous avons aire du triangle HAE = AE × HA /2

or AE = x et AH = 5 - x

donc nous avons l'aire du triangle HAE = x (5 - x)/2

Nous faisons de même pour les triangles  EBF, FCG et GDH et nous obtenons :

aire du triangle  EBF = x (5 - x)/2

aire du triangle  FCG = x (5 - x)/2

et aire du triangle  GDH = x (5 - x)/2

Ainsi l'aire du carré EFGH est  égale à :

A = 25 - 4 × x (5 - x)/2 car on a

A = la différence de l'aire du carré ABCD et l'aire des 4 triangles qui sont

HAE, EBF, FCG et GDH qui sont identiques.

Donc A = 25 - 2x (5 -x)

A = 25 - 10x + 2x²

2) Pour que l'aire A soit minimale nous allons étudier la fonction suivante :

f(x) = 2x² - 10x + 25

f est une fonction dérivable sur IR

f'(x) = 4x - 10

f' s'annule si 4x -  10 = 0

si 4x = 10

si x = 10/4

si x = 5/2

tableau de signe de f

x             - ∞                                   5/2                             + ∞

________________________________________________

f'                                -                    ⊕                            +                

________________________________________________

f                        décroissante                               croissante

la fonction f admet bien un minimum en x = 5/2

donc A = 2x² - 10x + 25 admet bien un minimum en x = 5/2

et la valeur de l'aire A minimale est

A = 2(5/2)² - 10 (2/5) + 25

A = 2 (25/4) - (2×5×2)/5 + 25

A = 25/2 - 4 + 25

A = 21 + 25/2

A = 42/2 + 25/2

A = 67/2 = 33,5 cm²

donc l'aire est minimale pour x = 5/2 et A= 33,5 cm²

3) Nous devons chercher la valeur de x tel que A = 14,12 cm²

donc nous avons A = 2x² - 10x + 25 = 14,12

ainsi 2x² - 10x + 25 = 14,12

2x² - 10x + 25 - 14,12 = 0

2x² - 10x + 10,88 = 0

Calculons le discriminant Δ = b² - 4ac

avec a = 2, b = - 10 et c = 10,88

Δ = (- 10)² - 4(2)(10,88)

Δ = 100 - 87,04

Δ= 12,96 > 0 donc √Δ = √12,96 = 3,6

donc l'équation 2x² - 10x + 10,88 = 0 admet 2 solutions

x₁= ( - b - √Δ)/(2a) et  x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)

avec a = 2, b = - 10 et c = 10,88

x₁ = ( - (-10) - 3,6)/(2(2)) et  x₂ = ( - (-10) + 3,6)/(2(2))

x₁ = (10 - 3,6)/4 et x₂ = (10 + 3,6)/4

x₁= 6,4/4 et  x₂= 13,6/4

x₁ = 1,6 et  x₂= 3,4

Les valeurs pour que l'aire A soit égale à 14,12 cm² sont  x = 1,6 cm et x = 3,4 cm

4) Nous cherchons l'aire A ≤ 13 cm²

Nous avons donc A = 2x² - 10x + 25 ≤ 13

donc 2x² - 10x + 25 ≤ 13

donc 2x² - 10x + 25 - 13 ≤ 0

donc 2x² - 10x + 12 ≤ 0

Calculons le discriminant Δ = b² - 4ac

avec a = 2, b = - 10 et c = 12

Δ = (- 10)² - 4(2)(12)

Δ = 100 - 96

Δ= 4 > 0 donc √Δ = √4 = 2

donc l'équation 2x² - 10x + 12 = 0 admet 2 solutions

x₁= ( - b - √Δ)/(2a) et  x₂ = ( - b + √Δ)/(2a)

avec a = 2, b = - 10 et c = 12

x₁ = ( - (-10) - 2/(2(2)) et  x₂ = ( - (-10) + 2)/(2(2))

₁ = (10 - 2)/4 et x₂ = (10 + 2)/4

x₁= 8/4 et  x₂= 12/4

x₁ = 2 et  x₂= 3

Étudiions le tableau de signes de A = 2x² - 10x + 12 ≤ 0

A peut s'écrire de la forme a (x - x₁)(x- x₂) avec a =2

donc A = 2(x -2)(x -3)

x               - ∞                            2                                3                            + ∞

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2(x -2)                     -                ⊕                 +                                 +      

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x -3                        -                                      -              ⊕                +

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A                           +                ⊕                   -               ⊕               +

donc nous avons les solutions de A = 2x² - 10x + 12 ≤ 0 qui sont

S = [2;3]

donc les valeurs pour que l'aire A soit inférieure à 13 cm² est S = [2;3]