Bonjour, Quelqu’un pourrait m’aider à faire cette exercice s’il vous plaît. Merci d’avance

Réponse :

f(x) = x²/(x² - x + 1)

1) justifie que f est définie sur R

  x² - x + 1  

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0  pas de racines  donc  x² - x + 1  > 0  ∀x ∈ R  car a = 1 > 0 donc le domaine de définition est  R

2) montrer que, pour tout x réel ,    0 ≤ f(x) < 2

f(x) = x²/(x² - x + 1)  ≥ 0  car   x² ≥ 0  et x² - x + 1 > 0

étudions le signe de  f(x) - 2

  [x²/(x² - x + 1)] - 2  ⇔ [x²/(x² - x + 1)] - 2(x² - x + 1)/(x² - x + 1)

⇒ (x² - 2 x² + 2 x - 2)/(x² - x + 1)     or  x² - x + 1 > 0

⇔ - x² + 2 x - 2

 Δ = 4 - 8 = - 4   ⇒  - x² + 2 x - 2 < 0   ∀x ∈ R   car  a = - 1 < 0

donc  f(x) - 2 < 0   ⇔  f(x) < 2

  Donc     0 ≤  f(x) < 2  

Explications étape par étape :

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape :

1) f(x)=x²/(x²-x+1)  f(x) est une fonction quotient , elle n'est donc pas définie pour les valeurs qui annulent le diviseur

On note  x²-x+1=0 n'a pas de solution (delta<0)  

On en déduit que f(x) est définie sur R  en plus que dividende et diviseur sont >0 donc f(x) est toujours >ou=0

2) on va étudier f(x)  sur son Df

a)limites

x tend vers -oo ou -oo   f(x) tend vers+1

b)dérivée

f'(x)=[2x(x²-x+1 )-(2x-1)x²](x²-x+1)²=(2x³-2x²+2x-2x³+x²)/(x²-x+1)

f'(x)=(-x²+2x)/(x²-x+1)²=x(-x+2)/(x²-x+1)

le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de x(-x+2)

f'(x)=0 pour x=0 et x=2

c) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                          0                           2                                +oo

f'(x)            -                  0             +            0                -

f(x)   +1        D               f(0)          C           f(2)             D                  +1

f(0)=0

f(2)4/(4-2+1)=4/3

Conclusion pour tout  x appartenant à R:   0<ou=f(x)<2