Exercice 1 : ABC est un triangle non rectangle. On considère les points D, E, F et H tels que: D est le projeté orthogonal de B sur (AC) E est le projeté orthog

Réponse :

Explications étape par étape :

D est le projeté orthogonal de B sur (AC) donc : (DB) ⊥ (AC)

H est le projeté orthogonal de E sur (AC) donc : (HE) ⊥ (AC)

Dans ADB : A, H et D sont alignés tout comme A, E et B  et (DB) // (HE)

Par le théorème de Thalès : [tex]\frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AD}[/tex] = [tex]\frac{EH}{DB}[/tex]

E est le projeté de C sur (AB) donc : (EC) ⊥ (AB)

F est le projeté de D sur (AB) donc : (FD) ⊥ (AB)

Dans AEC : A, F et E sont alignés tout comme A, D et C et (EC) // (FD)

Par le théorème de Thalès, on a : [tex]\frac{AF}{AE} = \frac{AD}{AC}[/tex]=[tex]\frac{FD}{EC}[/tex]

[tex]\frac{AF}{AB} = \frac{AF}{AE} *\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} * \frac{AE}{AB}[/tex]

[tex]\frac{AH}{AC} = \frac{AH}{AD} * \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} * \frac{AD}{AC}[/tex]

donc : les deux rapports sont égaux, par la réciproque de Thalès :

(FH) // (BC)