Bonjour, j'ai besoin d'aide dans cet question. Merci en avance! On pose d(x)= x**2 + (ln(x))**2 Etudier cette fonction sur ]0; +inf [ et montrer qu'elle admet u

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

f(x)=x²+(ln x)² sur ]0; +oo[

Etude de cette fonction

Limites

si x tend vers 0+, f(x) tend vers 0+(-oo)²=+oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo

Dérivée f'(x)=2x+2(1/x)lnx=(2x²+2ln x)/x =(2/x)(x²+lnx)

x étant >0 le signe de cette dérivée dépend du signe de x²+lnx

Soit g(x) =x²+lnx  fonction auxiliaire   sur ]0; +oo[ Etudions cette fonction.

Limites

si x tend vers 0+  g(x)=tend vers -oo

si x tend vers +oo, g(x) tend vers +oo

Dérivée g'(x)=2x+1/x

x étant>0,  g'(x) est toujours >0 don g(x) est croissante

D'après le TVI  g(x)=0 admet une et une seule solution "a"

On en déduit que f'(x) est <0 sur ]0; a[ et >0 sur ]a;+oo[

Tableau de signes de f'(x) et de variations  de  f(x)

x    0                          a                                +oo

f'(x)          -                  0              +                  

f(x) +oo       D.           f(a)            C               +oo

f(x) admet donc un minimum  pour x=a

par encadrement on voit que (3/5)<a<(4/5)