Bonjour, le problème est: lors de la finale de la coupe du monde de rugby 2003, contre l’Australie, alors que les deux équipes sont à égalité, l’anglais Jonny W

Réponse :

Explications :

Bonjour,

L’équation de la trajectoire est :

OG z (x)  = - X² * g / (2 * (Vo * cos35°)² ) + X * tan35° + 0

Voir sa démonstration en bas de la page.

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Hypothèses :  

g = 9.81 m/s², α = 35°, Vo = 20 m/s, distance ballon/barres = 25 m

1) Au droit des poteaux soit x = 25 m à quelle hauteur passe le ballon ?

OG z (x)  = - 25² * g / (2 * (20 * cos30°)² ) + 25 * tan35° + 0 = 8.826 m  

donc bien au-dessus des 3 m de la barre horizontale

2) A quelle distance le ballon atterri-t-il dans le terrain ?

OGz = 0 pour X = ? m

0 =  X² * 9.81 / (2 * (20 * cos35°)²) - X * tan35°  

Soit 0 =  X * 9.81 / (2 * (20 * cos35°)²) - tan35°

Soit X = tan35° * (2 * (20 * cos35°)²) / 9.81 = 38.316 m

Soit 38.316 – 25 = 13.316 m derrière les barres, le ballon est-il encore dans le terrain ?

Vérifiez mes calculs !!

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Démonstration de l’équation de la trajectoire :

Système étudié : Balle, centre de gravité G

Référentiel : terrestre considéré galiléen

Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :  

Vo x = Vo * cosα° et Vo z = Vo * sinα°

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (ballon en chute libre) donc : ∑ Forces = P ballon

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P ballon = m * g = m * aG donc  aG = g

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :

aG x = 0 et aG z = -g

par intégration , on a :

VG x = K1

VG z = -g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG x(0) = Vo * cosα° donc K1 = Vo * cosα°

t = 0, VG z(0) = Vo * sinα°  donc K2 = Vo * sinα°  

soit : VG x = Vo * cosα° et VG z = -g * t + Vo * sinα°  

par intégration :

OG x = Vo * cosα° * t + K3

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, OG z(0) = H (hauteur de départ du ballon) = 0

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG x = Vo * cosα° * t et  

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t  

Le mouvement de la balle est donc composé d'un :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)

- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).

Équation de la trajectoire : éliminons le temps :

OG x = Vo * cosα° * t  donc t = X / (Vo * cosα°)

reportons ce temps dans OG z (x)  soit :  

OG z (x)  = -g/2 * (X / (Vo * cosα°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosα°)  

OG z (x)  = - X² * g / (2 * (Vo * cosα°)² ) + X * tanα°

Vérifiez mes calculs !!