bonjour j'ai besoin d'aide pour l'exercice 2 svp​

Réponse :

f(x) = (x - 1)² + 2

1) on pose  x , y ∈ R  calculer  f(y) - f(x) sous forme développée

f(y) = (y - 1)² + 2 = y² - 2 y + 3

f(x) = (x - 1)² + 2 = x² - 2 x + 3

..............................................................

f(y) - f(x) = y² - 2 y + 3  - (x² - 2 x + 3) =  y² - 2 y + 3  - x² + 2 x - 3

   f(y) - f(x) =  y² - 2 y - x² + 2 x  

2) factoriser f(y) - f(x) en utilisant une identité remarquable

    f(y) - f(x) =  y² - 2 y - x² + 2 x

                  = y² - x² - 2(y - x)

                  = (y - x)(y + x) - 2(y - x)

                  = (y - x)(y + x - 2)

  f(y) - f(x) = (y - x)(y + x - 2)

3) montrer que  si  1 ≤ x ≤ y  alors  f(y) - f(x) ≥ 0

 f(y) - f(x) = (y - x)(y + x - 2)

x ≤ y  ⇔ 0 ≤ y - x  ⇔ y - x ≥ 0

y ≥ 1

x ≥ 1

...............

y + x ≥ 2   ⇔ y + x - 2 ≥ 0  

donc (y - x)(y + x - 2) ≥ 0   donc   f(y) - f(x) ≥ 0

4) montrer de la même manière  que  si  x ≤ y ≤ 1   alors f(y) - f(x) ≤ 0

x ≤ y  ⇔ 0 ≤ y - x  ⇔ y - x ≥ 0

y ≤ 1

x ≤ 1

...............

y + x ≤ 2   ⇔ y + x - 2 ≤ 0

donc (y - x)(y + x - 2) ≤ 0   donc   f(y) - f(x) ≤ 0

Explications étape par étape :