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Question

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour la question 2, 5 et 8 de l'exercice ci-joint. Le n me bloque. Merci d'avance.
Bonjour, pourriez-vous m'aider pour la question 2, 5 et 8 de l'exercice ci-joint. Le n me bloque. Merci d'avance.

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1 Réponse

  • bonjour,
    2)
    f'n(x)=2+1/n*1/(2racinex)>0
    donc fn(x) est croissante
    3)
    fn(0)=-2 et fn(1)=1/n>0
    donc comme la fonction est croissante sur 0,1, d'après le th des valeurs intermédiaires fn(x)=0 admet une solution unique.
    4)
    fn(0)<fn(α)<fn(1)
    donc comme fn est croissante 0<α<1
    5)
    Il faut trouver le signe de fn(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/n
    on sait que f(n+1)(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/(n+1)=0
    les expressions de fn(α(n+1)) et f(n+1)(α(n+1)) sont identique pour les deux premiers termes et diffèrent pour le troisième on va donc étudier le signe de leur différence:
    fn(α(n+1))-f(n+1)(α(n+1))=√(α(n+1))/n - √(α(n+1))/(n+1)
    √(α(n+1))/n est clairement strictement supérieur à √(α(n+1))/(n+1) puisqu'ils ont même numérateur et que le dénominateur du 2ème est strictement supérieur au dénominateur du premier. donc fn(α(n+1))>f(n+1)(α(n+1)) . De plus comme f(n+1)(α(n+1))=0 alors fn(α(n+1))>0

    6)
    fn(αn)=0 et fn(α(n+1))>0
    donc fn(α(n+1))>fn(αn)
    comme fn est croissante alors on déduite que α(n+1)>αn donc la suite est croissante.
    7)
    Elle est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.

    8)
    2αn -2+√(αn)/n=0
    donc 2αn=2-√(αn)/n
    donc αn=1-√(αn)/2n
    0<αn<1
    0<√(αn)<1
    0<√(αn)/n<1/2n
    lim 1/2n=0 quan n tend vers l'infini
    lim 0 = 0
    donc, d'aprè le th. des gendarmes  lim √(αn)/2n =0
    donc lim 1-√(αn)/2n = 1
    donc lim αn=1


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